Instantes eternos: Límites sin fronteras

Barrica de roble de gmáximo, CC by-nc 2.0

En 1613, el astrónomo y científico alemán Johannes Kepler acaba de cumplir 42 años. Está a punto de casarse por segunda vez en la ciudad austriaca en que reside, Linz a orillas del río Danubio. La costumbre obliga al novio a hacerse cargo de adquirir las bebidas necesarias para la celebración de la boda. Hombre curioso, observa cómo el bodeguero que le va a vender el vino mide con una vara la cantidad de licor que hay en los toneles.

Piensa que aquellos cálculos a "ojo de buen cubero" no pueden ser correctos. Se pone manos a la obra, e intenta encontrar reglas que permitan calcular el volumen de los panzudos toneles.

Pasados tres años, en una pequeña obra publicada en 1616, Kepler presenta una teoría que incluye unas normas para la construcción y el cálculo de la capacidad de los toneles, en función de su forma y tamaño.

Como no podía ser de otro modo, Kepler se ve obligado a introducir el concepto de lo infinitamente pequeño en sus razonamientos.

El infinito, definirlo y trabajar con él había traído de cabeza a matemáticos y pensadores desde la antigüedad griega. Un ejemplo de este conflicto son las paradojas de Zenón relacionadas con el movimiento.

Se puede afirmar que los métodos mecánicos y geométricos utilizados por Arquímedes para el cálculo de áreas y volúmenes suponen un anticipo de lo que ya en el siglo XVIII se denominaría cálculo infinitesimal.

Al igual que Kepler, científicos como Galileo, Cavalieri, Torricelli, Descartes o Fermat, se ocuparon del cálculo de áreas y volúmenes. Y también de problemas relacionados con el movimiento, determinación de centros de gravedad de figuras, o el cálculo de la tangente a una curva en punto.

Todos ellos tuvieron que negociar con el infinito y el paso al límite, con mayor o menor éxito y rigor en sus razonamientos. Pero fueron Newton y Leibniz quienes idearon una teoría general que abarcara y unificara todo el cálculo de sus predecesores. Ellos dos son los padres del cálculo integral y diferencial, los protagonistas principales de ese instante eterno del saber humano.

Matemáticos posteriores como los Bernoulli, Euler, Cauchy, entre otros, fueron formalizando y afinando esa etapa inicial del cálculo. Y para ello fue necesario que se enfrentarán tanto al concepto de límite como al de continuidad de una función.

 

En la siguiente escena de GeoGebra, podemos apreciar cómo se puede calcular el área bajo tres curvas diferentes, utilizando métodos infinitesimales. Como se puede ver, esas áreas se aproximan por la suma de áreas de rectángulos que en cada paso, se parecen más a la superficie buscada. La sucesión de valores que se van obteniendo, tendrán como límites las áreas buscadas. Este es un ejemplo de cómo emplear el límite para realizar cuadraturas, es decir, cálculo de áreas.

¿Cuánto crees que valdrán cada una de las áreas anteriores? ¿Cuál será el límite en cada caso?

 

¡Ah! ¡Por cierto! Kepler fue muy feliz en este segundo matrimonio, a diferencia de lo que le ocurrió en el primero.